| Résumé | Motivés par les problèmes de la mécanique et de la physique...etc, de nombreux mathématiciens se sont intéressés à l'étude des changements des états d'équilibres sous perturbations des systèmes différentiels… En s'inspirant des idées développées dans le mémoire de Poincaré, Lyapounov décrit 2 méthodes pour l'étude de la stabilité : la 1ère présuppose la connaissance explicite de la solution. Elle est seulement applicable a des cas restreints. La 2ème méthode, dite méthode directe de Lyapounov, concerne les cas généraux et permet de décrire de manière générale le problème de perturbation d'un système et la bifurcation des solutions périodiques par perturbations. Ce que l'on retient de cette méthode, c'est qu'elle fournit la stabilité sous réserve de trouver une fonction dite "fonction de Lyapounov" que l'on cherche la plus possible : fonction norme ou forme quadratique. Le mémoire de Lyapounov décrit une technique systématique qui permet de mettre en évidence cette fonction. C'est cette procédure qui a été reprise notamment par S. Bernfeld, P. Negrini, et L. Salvadori, dans le cadre des systèmes ordinaires et plus spécialement des systèmes du plan. Ces derniers exploitent dans leurs travaux le lien entre les échanges de stabilité de l'équilibre et l'apparition des solutions périodiques et ils montrent qu'un système dynamique en état d'équilibre stable peut évoluer sous des perturbations d'ordre différents vers des états oscillants, c'est la bifurcartion de Hopf généralisée, liée à la h-symptotique stabilisé. L'étude de ces notions a été interprétée systématiquement dans la 1ère partie de notre travail. Une extension très partielle des notions pré-citées est faite dans le cadre des systèmes du plan : x(t) = f(x(t-r)). Pour ce système, dans le cas du petit retard, nous avons mis au point une méthode de perturbations permettant d'obtenir les solutions périodiques comme perturbations de solutions bifurquées d'un système ordinaire. L'unicité est obtenue par une autre méthode. Enfin, un résultat de bifurcation de Holf globale est établi. |
|---|