| Résumé | Dans ce travail nous étudions les équations différentielles à retard en dimension finie et infinie par la méthode de la transformée de Laplace. L'origine de notre intérêt pour cette étude est l'étude d'un modèle de dynamique de population. Le modèle est un système d'équations aux dérivées partielles avec des termes fonctionnels à retard, que l'on ramène par changement de fonctions inconnues à un système d'équations différentielles à retard en dimension infinie. L'étude de la stabilité des solutions stationnaires de l'équation non linéaire passe par celle de l'équation linéarisée. Dans le cadre de dimension infinie et des opérateurs non bornés que l'on a considérés dans notre travail, il n'existe pas une théorie générale de la stabilité laquelle repose sur la détermination des propriétés spectrales du semi-groupe et des résultats techniques tels que la formule de variation de la constante. L'objectif principal de la thèse a été d'élaborer des outils pour l'étude de ces propriétés. Le point de vue adopté ici est celui de la transformée de Laplace, qui permet de construire la solution fondamentale de l'équation linéaire et de mettre en évidence une équation caractéristique dont les déterminations du spectre et la dimension de l'espace propre généralisé. Les résultats principaux de notre travail sont : 1) une extension du théorème de Levinger au cadre de dimension infinie. 2) la détermination de la solution fondamentale par la transformée de Laplace. 3) une forme partielle du théorème de Levinger déduite de l'étude des sous-espaces invariants et la résolution de l'équation différentielle à retard. |
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